第三章 集合与关系

集合的概念:把具有相同性质的不同对象的全体称为集合。

  • 集合的特性:互异性,无序性

  • 集合间的关系:包含,相等,

  • 全集,空集

  • 文氏图

  • 幂集:有一个集合所有子集构成的集合

    在这里插入图片描述
    二项式展开证明

    • 真子集个数为2^n-1个

在这里插入图片描述
第二题有2个元,即有2^2个子集

集合的运算

  • 交,并,补,对称差
    在这里插入图片描述)在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述)在这里插入图片描述
  • 补集A-B,就是把A中属于B的部分挖去。
  • 对称差,就是把A和B的交集挖去剩下的集合
  • 在这里插入图片描述
  • tips
  • 在这里插入图片描述

    序偶

  • 概念:具有固定次序的客体ab组成的有序序列,
  • 次序不同序偶也是不同的
  • 笛卡尔积,两个集合中的元素分别作为序偶的第一个元素和第二个元素A×B不满足交换律若A中元素个数为m,B中元素个数为n,则A×B中元素个数为mn
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    关系

  • 序偶:表示两个客体之间的联系
  • 关系:由序偶构成的集合

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  • 跟没说一样
  • 关系矩阵和关系图

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  • 用有向线段来表示关系

第三

关系的性质

在这里插入图片描述
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复合关系和逆运算

A)复合关系
R 为 X 到 Y 的关系,S 为 Y 到 Z 的关系,R S 称为复合关系
∨ 代表逻辑加,0 ∨ 0 = 0,0 ∨ 1 = 1,1 ∨ 0 = 1,1 ∨ 1 = 1
∧ 代表逻辑乘,0 ∧ 0 = 0,0 ∧ 1 = 0,1 ∧ 0 = 0,1 ∧ 1 = 1
B)逆关系
R 为 X 到 Y 的二元关系,若将 R 每一序偶的元素顺序互换,得到逆关系 Rc

在这里插入图片描述

在这里述

关系的闭包运算

  • 自反闭包,传递闭包,对称闭包

例如>=是>的自反闭包

划分和覆盖

  • 定义:把集合A中的元素分成若干个叫做分块的子集,使得A中每个元素至少属于一个分块,那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个覆盖。如果A中的每一个元素只属于一个分块,那么这些分块的全体构成的集合叫做A的一个划分
    例:A = { a, b, c }
    覆盖:S1 = { {a, b}, {a, c} } 、S2 = { {a}, {a, b}, {b, c} }
    划分:G = { {a, b}, {c} }
    最小划分:G1 = { {a, b, c} } ,最大划分:G2 = { {a}, {b}, {c} }
    判断依据:对于覆盖而言,一个元素可以属于两个分块,而对于划分,一个元素仅属于且必属于一个分块,划分一定是覆盖但覆盖未必是划分

等价类与等价关系

  • 概念:一个定义在R上的关系,如果R是自反,对称,传递的则R是等价关系,
  • 等价类:
  • 等价类的集合称为商集
  • 在这里插入图片描述

    序关系

  • 定义:R是A上的关系满足自反,反对称,
  • 在这里插入图片描述
  • 盖住
    在这里插入图片描述也就是说x与y之间直接有偏序,中间不能再添加其他元素构成关系
  • 哈斯图
  • 在这里插入图片描述
  • 链:定义:在这里插入图片描述
  • 从哈斯图中容易看出每个链总可以从最高节点出发沿着盖住方向遍历该链中的所有结点
  • 在这里插入图片描述
  • 极大元极小元
  • 在这里插入图片描述
  • 最大元最小元
  • 在这里插入图片描
    当子集a与b相等时,B的最大元就是偏序集<A,<>的最大元和最小元
  • 在这里插入图片描述)在这里插入图片描述)在这里插入图片描述